6-maruza Mavzu: Ilmiy va texnik ijodiyotda modellashtirish

6-ma’ruza
Mavzu: Ilmiy va texnik ijodiyotda modellashtirish

Reja
1. Matematik modellashtirish asoslari va vazifalari
2. Matematik modellar tasnifi
3. Matematik modellar hosil qilish metodikasi

6.1. Matematik modellashtirish asoslari va vazifalari
Matematik model o’rganilayotgan obyekt asosiy xossalarini ifodalovchi va u haqdagi ko’plab informasiyani qulay shaklda tasvirlovchi sun’iy sistema.
Matematik modellashtirish vazifasi «mavjud olam»ni matematika tilida bayon etishdan iboratdir. Bu uning eng ahamiyatli xususiyatlari haqida ancha aniq tasavvurga ega bo’lish uchun imkon beradi va aytish mumkinki, bo’lajak hodisalarni bashoratlash mumkin bo’ladi. Bu holat ayni «matematik modellashtirish» terminini ifodalaydi.
Amaliyotda boshlang’ich nuqta bo’lib, qoidaga ko’ra, ba’zi real vaziyatlar hisoblanadi, bular tadqiqotchi oldiga javob topish talab etiladigan vazifalarni qo’yadi.
Matematik tahlil etish mumkin bo’lgan vazifalarni ajratish (qo’yish) jarayoni ko’p hollarda davomli hisoblanadi va faqat matematik bilimlarnigina emas, balki o’sha sohadagi ko’plab malakalarni ham egallashni talab etadi. Bundagi real vaziyat matematik modelda tasvirlanadi. 2.03-rasmda matematik modelni ishlab chiqish tarxi keltirilgan.
Real vaziyatni taxlil qilish natijasida matematik tavsiflashga imkon beruvchi vazifani qo’yish amalga oshiriladi Ko’pincha vazifani qo’yish bilan barobar hodisaning asosi yoki e’tiborli jihatlarini aniqlash jarayoni ham kechadi. Keyinchalik aniqlangan ahamiyatli omillar matematik tushuncha va qiymatlar tiliga o’tkaziladi, shuningdek mazkur qiymatlar o’rtasidagi nisbat qoidalashtiriladi, buning natitijasida matematik model olinadi.
Qoidaga ko’ra, bu modellashtirish jarayonining eng qiyin bosqichidir, buni bajarish uchun hyech qanday umumiy tavsiyalar berish mumkin emas.
Matematik model ishlab chiqilgandan so’ng u tekshiruvdan o’tkazilishi kerak. Shu o’rinda ta’kidlash joizki, model aniyligini tekshirish qaysidir darajada vazifani qo’yish davomida amalga oshiriladi, chunki tenglama yoki boshqa matemtik nisbat, modelda ifodalangan, muntazam ravishda boshlang’ich real vaziyatga qiyoslanadi.
Real vaziyatlar turli maqsadlarda modellashtiriladi. Ulardan asosiysi - yangi natijalarni yoki hodisaning yangi xossalarini oldindan aytib berishdir.
Mikromiqyosdagi texnikaviy obyektning matematik modeli o’lib xususiy hosilalardagi deferensial tenglamalar sistemasi hisoblanadi, bular belgilangan chegara shartlari bilan yaxlit muhitdagi jarayonlarni ifoda etadi.
Makromiqyosdagi texnikaviy obyekt matematik modeli o’lib, belgilangan boshlang’ich shartli oddiy deferensial tenglamalar sistemasi hisoblanadi.
Metomiqyosda avtomatlashtirilgan boshqaruv nazariyasi va ommaviy xizmat nazariyasini tadqiq etish predmeti bo’lgan obyektlar uchun matematik model tuziladi.
Modellashtirishning boshlang’ich jarayonida qabul qilinadigan muhim yechim bo’lib, ko’rib chiqilayotgan matematik o’zgaruvchanlik tabiatini belgilash hisoblanadi. Amadda ular ikki sinfga bo’linadi.
- aniq o’lchash va boshqarish mumkin bo’lgan determinlangan o’zgaruvchilar;
- aniq o’lchash mumkin bo’lmagan va tasodifiy tavsifga ega bo’lgan stoxastik o’zgaruvchilar.
Modellashtirish jarayoni u yoki bu matematik modelni olish bilan yakunlanmaydi. Matematik tildan boshlang’ich vazifani ifodalovchi tilga qayta o’tkazishni amalga oshirish zarur. Faqat olingan yechimni matematik mohiyatinigina anglab qolmay, balki bular mavjud dunyoda nimani ifodalashligini ham anglamoq zarur.
Texnikaviy obyektlarning ko’plari murakkab sistemalar, sinfiga taalluqli, ular o’zaro bog’liq o’zgaruvchilar ko’p miqdordaligi bilan tavsiflanadi. Bunday sistemalar tadqiq etish quyidagilardan iborat:
- kirish parametrlari - faktorlar va chiqish parametrlari - texnikaviy obyekt funksiyasi sifat ko’rsatkichlar o’rtasidagi bog’liqlikni belgilashdan;
- texnikaviy obyekt chiqish parametrlarini optimallashtiruvchi faktorlar darajasi (ahamiyati)ni belgilashdan.
Murakkab sistemalar matematik modellarini ishlashda ikki xil yondashuv mavjud: determinik va stoxastik. Deternmik yondashishda model hodisa mexanizmini atroflicha tadqiq etish asosida ishlab chiqiladi va odatda differensial tenglamalar sistemasi ko’rinishida tasavvur etiladi. Bu holda optimallashtirish vazifasini bajarish uchun zamonaviy boshqaruv nazariyasi matematik apparati foydalanilishi mumkin. Determinik yondashish yaxshi tashkil etilgan sistemalarni o’rganish (tavsiflash) uchun foydalaniladi, bularda fizik tabiatga ega, uncha ko’p bo’lmagan kirish parametrlar borliq hodisa yoki jarayonni ajratish mumkin. Mazkur vaziyat determinik yondashish qo’llanishini cheklaydi.
Metematik modellarga universallik (to’laqonlilik), ayniylik, aniqlik va tejamlilik talablari qo’yiladi.
Matematik model universalligi deyilganda uning real obyekt xossasini to’liq ifodalashi tushuniladi. Ko’pgina matematik modellar obyekti kechadigan fizik yoki informasion jarayonlarni aks ettirish uchun mo’ljallangandir. Bunda obyekt unsurlarini tashkil etuvchi geometrik shakllar kabi xususiyatlar tasvirlanmaydi.
Matematik model aniqligi real obyektlar va ularning qiymat parametr qo’rsatkichlari bir-biriga moslik darajasi bilan tavsiflanadi, bu ko’rsatkichlar model berilganlari (baholanayotganlari) yordamida hisoblanadi. Birinchi parametr bo’yicha nisbiy xatolik quyidagi tentlamaga ko’ra aniqlanadi:
ξjq(yjm-yjuum)/yjuuc; jq1,2,....,m (6.01)
bunda yjm-matematik model yordamida hisoblangan j-unchi chiqish parametrining qiymati; yjuuc-chiqish parametri j-ning haqiqiy qiymati.
Xatolikning vektor tavsifi quyidagiga teng:
ξ q( ξ1, ξ2,…, ξm) (6.02)
Matematik model ayniyligi deganda obyektning berilgan xossasini yo’l qo’yilgandan yuqori bo’lmagan xatolik bilan tavsiflash imkoni tushuniladi, ya’ni
ξm ≤ δ, (6.03)
bunda δ>0-modelning yo’l qo’yilgan chegaraviy xatoligiga teng berilgan konstanta; ξm-xatolikning skalyar qiymati, ξmq ξ .
Matematik modelning tejamliligi uni amalga oishirishga sarf bo’lgan hisoblash resurslari, Tm va xotira Pm. Mashina vaqtlari sarfi bilan tavsiflanadi. Tabiiyki, bu harajatlar qanchalik kam bo’lsa, model shunchalik tejamli bo’ladi.

6.2. Matematik modellar tasnifi
Quyidagilar matematik modellarning tasnifiy belgilari hisoblanadi:
- texnikaviy obyektning tasvirlanayotgan xossasining, tavsifi;
- iyerarxik darajasiga taalluqlik;
- bir daraja ichida tavsifning detallashtirilish dara jasi;
- texnikaviy obyekt xossasini tasavvur etish usuli;
- modelni olish usuli.
Obyekt xossasining ifodalanish tavsifi bo’yicha matemati modellar funksional va tuzilmaviylarga bo’linadi.
Funksional modellar texnikaviy obyektda u ishlayotganda yoki tayyorlanayotganda kechadigan fizik yoki informasion jarayonlarni aks ettiradi. Bu modellar faza o’zgaruvchilari, ichki, tashqi va chiqish parametrlarini bog’lovchi tenglamalar sistemalari sifatida namoyon bo’ladi.
Funksional modellarning odatdagi misoli bo’lib, yoki elektrik, issiqlik, mexanik jarayonlar, yoki informasiyani qayta o’zgarish jarayonini tavsiflovchi tenglamalar sistemas: hisoblanadi.
Tuzilmaviy modellar texnikaviy obyekt tuzilish xossasi ni uning geometrik shakli, unsurlarning fazoda o’zaro joy lashuvi va h.k. larni aks ettiradi. Bu modellar tipologik va geometrik modellarga bo’linadi.
Tipologik matematik modellarda obyekt unsurlarini tarkibi va o’zaro aloqasi aks etadi. Shunday modellar yordamida jihozlarni mutanosiblash, detallarni joylashtirish qo’shilmalarni trassirovkalash, texnologik jarayonlarni ishlab chiqish va h.k. masalalar yechiladi. Tipologik matematik modellar grafalar, turli matrisalar, ro’yxatlar va h.k. lar tarzida beriladi.
Geometrik matematik modellar bevosita texnikaviy obyektning geometrik xossasini aks ettiradi va konstruksiyalash, kon-struktorlik hujjatlarini rasmiylashtirish uchun, texnologik jarayonlarni ishlab chiqishda boshlankich ma’lumotlar kiritishda qo’llanadi. Geometrik matematik modellar liniyalar va sirtlar tenglamalari, algebraik nisbatlar, sohani tavsiflovchi, obyekt jismini tashkil etuvchi, fazalar, ro’yxatlar va h.k.lar majmui sifatida aks ettirilishi mumkin.
Iyerarxik darajaga taalluqliligi bo’yicha matematik modellar mikro, makro va metodarajaga xos bo’lishi mumkin, ularda murakkab texnikaviy obyektlarning turli xossalari ifodalanadi.
Mikrodarajada matematik modellar obyekt unsurlaridagi fizik holat va jarayonlarni aks ettiradi. Bu modellar (xususiy hosilalardagi differensial tenglamalar sistemalari)da mustaqil o’zgaruvchilar bo’lib fazoviy koordinata va vaqt hisoblanadi.
Makrodarajada fazo ayrim detallar unsurlarining sifatini farqlagan holda diskretlash amalga oshiriladi. Shu bilan birga mustaqil o’zgaruvchilar ichidan fazoviy koordinatalar chiqariladi. Tegishli matematik modellar (algebraik yoki oddiy differensial tenglamalar sistemalari)da erkin bo’lmagan o’zgaruvchilar vektorlari diskretlangan fazoning yiriklashtirilgan unsurlari holatini tavsiflovchi fazoviy o’zgaruvchilarini hosil qiladi. Fazoviy o’zgaruvchilarga elektr va tok kuchlanishi, kuchlanishlar, tezliklar, haroratlar, sarflar va h.k. lar kiradi. Bu o’zgaruvchilar elementlarni o’zaro ta’siri va tashqi muhitga ta’sirida tashqi xususiyat yuzaga chiqarishini tavsiflaydi.
Metodarajada matematik modellar ancha murakkab detallar majmuini ifoda etuvchi unsurlar o’zaro aloqasigagina taalluqli fazoviy o’zgaruvchilarni tavsiflaydi. Bunda abstraktlash yordamida fizik jarayonlar tavsifida loyihalanayotgan obyektda kechuvchi informasiyaviy jarayonlarni ifodalashga ega bo’linadi. Metodarajada turli-tuman matematik modellardan foydalaniladi: oddiy, differensial tenglamalar sistemalari, mantiqiy modellar sistemalari, ommaviy xizmat ko’rsatish sistemasi imitasiya modeli, topologik modellar.

6.3. Matematik modellar hosil qilish metodikasi
Matematik modellar, qoidaga ko’ra, muayyan texnikaviy soha mutaxassislari tomonidan turli eksperimental tadqiqotlar va SAPR vositalari yordamida tuziladi.
Modellashtirishning qo’pgina operasiyalari evristik tav-lfga ega. Biroq bir qator qoidalar va yo’llar borki, bular atematik modellar olish metodikasini tashkil etadi.
1. Texnikaviy obyekt xossasini belgalash, mazkur obyekt odelda aks ettirilishi va bo’lajak model universallik dara-asini belgilab beruvchi hisoblanadi.
2. Ilmiy-texnikaviy, patent va ma’lumotnomalar, protoplarni bayon etish, eksperimental tadqiqotlar natijalari
va h.k.lar singari turli manbalar bo’yicha modellashtirilayotgan texnikaviy obyektning tanlangan xossalari haqida aprior formasiyalar to’plash.
3. Matematik model tuzilishini sintezlash, kirish va chiqish parametrlarining konkret raqamli qiymatlarisiz model tenglamalari umumiy ko’rinishini hosil qilish. Modelashtirishning bu operasiyasi eng mas’ul va qiyinchilik bilan formallashtiriladi.
4. Matematik modellarning parametrlari raqamli qiymatlarini belgilash quyidagicha amalga oshiriladi:
- ikkinchi bosqichda to’plangan aprior informasiyalarni hisobga olib, o’ziga xos hisob munosabatlaridan foydalanish;
- eksperimental topshiriqni yechish, bunda maqsadli funksiya bo’lib obyektning chiqish parametrlari ma’lum qiymatlarini modeldan foydalanish natijalari bilan mos kelish darajasi hisoblanadi;
- eksperimentlar o’tkazish va ular natijalarini ishlab chiqish;
5. Modelda olingan aniqlikni baholash va uning ayniylik sohasi belgilash.
6. Matematik modelni foydalanilayotgan kutubxonada qabul qilingan model shaklida tasavvur etish.
Shuni ta’kidlash zarurki, keltirilgan usullarning bosqichlari istalgan natijaga tadrijiy yaqinlashishga ko’ra bir necha marta bajarilishi mumkin.

Sinov savollar

1. Matematik model nima?
2. Matematik model ishlash tarxini tushuntiring?
3. Matematik modelga qanday talablar qo’yiladi?